Un tuit de Luciano Palermo. “En los bares con billar del 1900, cuando entraban jóvenes que podían poner en riesgo el paño, los jugadores expertos le decían al mozo: ‘A estos no les des bola’ (para que no jugaran). De ahí nos vino: ‘No dar bola’.”
Busco confirmación: encuentro esta de Daniel Balmaceda, y esta otra, que además explica el derivado ‘bolilla’: “La frase se generalizó muy pronto para significar una exclusión deliberada. Por sus connotaciones algo incómodas muchos la suavizaron convirtiéndola en no dar bolilla, que alterna con la anterior”.
O sea que no dar bola es no abrir la puerta para ir a jugar. Presumiblemente -si queremos pensar bien- será para evitar daños en la infraestructura.